Řešení úloh na dobrou noc -- sobotu 15. 8. 2009
1. Sestavíme pravoúhlý trojúhelník o stranách 3, 4 a 5 sirek, tedy o ploše 6 čtverečných sirek, a v rohu u pravého úhlu dvě čtverečné sirky vyřízneme, aby zbyly 4.
2. Označme strany x a y. Platí 2x + 2y = xy, tedy x = 2y/(y-2) = 2/(1-(2/y)). Musí být 1 - 2/y > 0, tedy y > 2 (y musí být větší než 2). Dále je x = 2y/(y-2) = (2(y-2) + 4)/(y-2) = 2 + (4/(y-2)). Aby bylo x celým číslem, musí být 4/(y-2) celým číslem. Při y > 2 je to možné, je-li y = 3, 4 nebo 6. Potom je x rovno 6, 4 nebo 3. Má tedy obdélník buď strany 3 a 6, nebo je to čtverec se stranou 4.
3. Valí-li se větší kruh po přímce, menší kruh s ním spojený se nejen valí, ale i posouvá, protože obvod většího je větší než obvod menšího kruhu. Vše je daleko lépe vidět, pokud budete uvažovat dva šestiúhelníky, nakreslete si obrázek jejich pohybu!
