Řešení úloh na dobrou noc -- pondělí 17. 8. 2009
1. Tah označíme T, K skok, E, V, N, S strany. Řešení je TE, KV, TV, KE, TN, KS, TS, KN, KE, TV, KV, TN, TE, KV, TS, KE, TN, KS, TE, TN, KS, TV, KN, KN, TS, KS, KE, TN, KS, KV, KN, TE, KV, KN, TE, KV, KS, KE, KE, TV, KV, TE, KN, TS, KS, TN.
2. Označme čísla x a y. Platí (x+y) + (x - y) + xy + x/y = 243, upravíme: 2x + xy + x/y = 243, 2xy + xy^{2} + x = 243y, x(2y + y^{2} + 1) = 243. Protože 2y + y^{2} + 1 = (y+1)^{2}, je x = 243/(y+1)^{2}. Aby bylo x celé číslo, musí být 243 dělitelné beze zbytku číslem (y+1)^{2}, 243 = 3*9^{2} = 27*3^{2}. Proto (y+1)^{2} = 9^{2} nebo 3^{2}, tedy y=8 nebo 2. Tedy x=24 nebo 54.
3. Hledáme tři čísla, jejichž součin je 225 a součet je roven neznámému číslu, které komisař znal a přece se ještě musel zeptat, je-li jeden z obyvatel nejstarší. Z toho se dá najít jediné řešení: 25, 3 a 3 roky, neboť druhé možné řešení (15, 15, 1) rok nevyhoví komisařově otázce, ač také dává součet 31.
